Вариант 1, задача 3: \(\triangle ABC\) – равнобедренный с основанием AB. Биссектрисы углов при основании пересекаются в точке D. \(\angle ADB = 100^\circ\). Найти: \(\angle C\).

Поскольку \(\triangle ABC\) равнобедренный с основанием \(AB\), \(\angle A = \angle B\). Биссектрисы углов \(\angle A\) и \(\angle B\) пересекаются в точке \(D\). Значит, \(\angle DAB = \frac{\angle A}{2}\) и \(\angle DBA = \frac{\angle B}{2}\). Рассмотрим \(\triangle ADB\). Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\), следовательно, \(\angle DAB + \angle DBA + \angle ADB = 180^\circ\). Подставляем \(\angle ADB = 100^\circ\), получаем \(\frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2} = 80^\circ\). Поскольку \(\angle A = \angle B\), имеем \(\frac{\angle A}{2} + \frac{\angle A}{2} = 80^\circ\), \(\angle A = 80^\circ\). Тогда \(\angle B = 80^\circ\). Теперь рассмотрим \(\triangle ABC\). Сумма углов в нем равна \(180^\circ\), следовательно, \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\), \(80^\circ + 80^\circ + \angle C = 180^\circ\), \(\angle C = 20^\circ\). Ответ: \(\angle C = 20^\circ\).