Вычислите: $\sin 45^{\circ} \cdot \sin 420^{\circ}$.

Сначала найдем значение $\sin 45^{\circ}$. Мы знаем, что $\sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Теперь найдем значение $\sin 420^{\circ}$. Поскольку синус — периодическая функция с периодом $360^{\circ}$, мы можем записать: $\sin 420^{\circ} = \sin (420^{\circ} - 360^{\circ}) = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Теперь перемножим значения: $\sin 45^{\circ} \cdot \sin 420^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4}$. Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{4}$