9) Вычислите значение выражения $$\frac{(a^5)^6 \cdot a^6}{a^{32}}$$ при $$a = 3$$.

Для решения этого выражения нам необходимо воспользоваться свойствами степеней.

1. Степень степени: При возведении степени в степень показатели перемножаются: $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$.

2. Умножение степеней с одинаковым основанием: При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$.

3. Деление степеней с одинаковым основанием: При делении степеней с одинаковым основанием из показателя числителя вычитается показатель знаменателя: $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$.

Применим эти свойства к нашему выражению:

Шаг 1: Упростим выражение в числителе, сначала применим правило степени степени:

$$(a^5)^6 = a^{5 \cdot 6} = a^{30}$$

Шаг 2: Теперь умножим полученную степень на $$a^6$$:

$$a^{30} \cdot a^6 = a^{30+6} = a^{36}$$

Шаг 3: Разделим полученную степень на знаменатель, используя правило деления степеней:

$$\frac{a^{36}}{a^{32}} = a^{36-32} = a^4$$

Шаг 4: Подставим значение $$a = 3$$ в упрощенное выражение:

$$a^4 = 3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$$

Ответ: 81