Задача 10: Найдите $\operatorname{tg} 2\alpha$, если $\cos \alpha = \frac{2\sqrt{6}}{5}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.

Используем формулу $\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}$. Найдем $\sin \alpha$. Так как $\alpha$ находится в четвертой четверти, $\sin \alpha < 0$. $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2 = 1 - \frac{4 \cdot 6}{25} = 1 - \frac{24}{25} = \frac{1}{25}$ $\sin \alpha = -\sqrt{\frac{1}{25}} = -\frac{1}{5}$ Теперь найдем $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{1}{5}}{\frac{2\sqrt{6}}{5}} = -\frac{1}{2\sqrt{6}} = -\frac{\sqrt{6}}{12}$ $\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{6}}{12}\right)}{1 - \left(-\frac{\sqrt{6}}{12}\right)^2} = \frac{-\frac{\sqrt{6}}{6}}{1 - \frac{6}{144}} = \frac{-\frac{\sqrt{6}}{6}}{1 - \frac{1}{24}} = \frac{-\frac{\sqrt{6}}{6}}{\frac{23}{24}} = -\frac{\sqrt{6}}{6} \cdot \frac{24}{23} = -\frac{4\sqrt{6}}{23}$ Ответ: $-\frac{4\sqrt{6}}{23}$