Задача 9: Найдите радиус окружности, если AB = 14 и угол AOB = 45 градусов.

Дано, что AB = 14 и угол AOB = 45°. Так как угол AOB центральный, он опирается на дугу AB. Пусть R - радиус окружности. Треугольник AOB равнобедренный, так как OA = OB = R. Опустим высоту OH на сторону AB. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой и биссектрисой. Следовательно, AH = HB = AB/2 = 14/2 = 7. Угол AOH = угол AOB / 2 = 45°/2 = 22.5°. Тогда \(\sin(\frac{45}{2}) = \frac{AH}{OA} = \frac{7}{R}\). Откуда R = \(\frac{7}{\sin(22.5)}\). \(\sin(22.5) = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\). Значит, R = \(\frac{14}{\sqrt{2-\sqrt{2}}}\) R = \(7\sqrt{4+2\sqrt{2}}\) Ответ: Радиус окружности равен \(7\sqrt{4+2\sqrt{2}}\).