ЗАДАНИЕ №5: Отрезок AB разделен точкой C в отношении 3 : 1. На этот отрезок наудачу брошены четыре точки. Найти вероятность того, что две из них окажутся левее точки C и две – правее. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

Для решения этой задачи нам потребуется использовать комбинаторику и вероятности. 1. **Определим вероятности попадания точки слева и справа от точки C.** * Отрезок AB разделен точкой C в отношении 3:1, значит, длина отрезка AC составляет \(\frac{3}{4}\) от всей длины AB, а длина отрезка CB составляет \(\frac{1}{4}\) от AB. * Вероятность того, что случайно брошенная точка попадет левее C, равна \(P(\text{слева}) = \frac{3}{4}\). * Вероятность того, что точка попадет правее C, равна \(P(\text{справа}) = \frac{1}{4}\). 2. **Рассчитаем вероятность нужной комбинации.** * Нам нужно, чтобы из четырех точек две оказались слева от C и две справа. Это можно рассматривать как биномиальное распределение. * Вероятность этой комбинации можно рассчитать по формуле: \[P = C_4^2 \cdot P(\text{слева})^2 \cdot P(\text{справа})^2\] где (C_4^2) – это количество способов выбрать 2 точки из 4. 3. **Вычислим значение (C_4^2).** * (C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6) 4. **Подставим значения в формулу вероятности.** * \[P = 6 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 6 \cdot \frac{9}{16} \cdot \frac{1}{16} = 6 \cdot \frac{9}{256} = \frac{54}{256}\] 5. **Упростим результат.** * \[P = \frac{54}{256} = \frac{27}{128}\] **Ответ:** Вероятность того, что две точки окажутся левее точки C и две – правее, равна \(\frac{27}{128}\) или примерно 0.2109.