Задание 4. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 8, а угол при основании равен 30°. Найдите основание треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC, высота BH = 8, а угол при основании ∠BAC = 30°. Поскольку треугольник равнобедренный, ∠BCA = ∠BAC = 30°. Высота BH делит треугольник ABC на два прямоугольных треугольника ABH и CBH. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Нам известна высота BH (катет) и угол ∠BAH = 30°. Мы можем найти AH, используя тангенс угла: $tg(30°) = \frac{BH}{AH}$ $AH = \frac{BH}{tg(30°)}$ Мы знаем, что $tg(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, поэтому: $AH = \frac{8}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 8\sqrt{3}$ Так как высота в равнобедренном треугольнике является и медианой, то AH = HC. Следовательно, AC = 2 * AH. $AC = 2 * 8\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$ Таким образом, основание треугольника равно $16\sqrt{3}$.