5.16. Найдите наибольший общий делитель всех пятизначных чисел, записанных при помощи цифр: 1, 2, 3, 4, 5, без повторений.

Решение: Пятизначные числа, записанные цифрами 1, 2, 3, 4, 5 без повторений, должны делиться на НОД. Сумма этих чисел \(1+2+3+4+5 = 15\). Следовательно, каждое такое число делится на 3. Чтобы найти наибольший общий делитель, рассмотрим два таких числа и их разность. Рассмотрим 12345 и 12354. \(12354 - 12345 = 9\). Значит, любое такое число делится на 3, и НОД должен быть делителем 9. Рассмотрим числа 12345 и 54321. НОД чисел 12345, 12354. Сумма всех цифр равна 15. \(12345 \div 3 = 4115\). \(12354 \div 3 = 4118\). Каждое из этих чисел делится на 3, поэтому НОД = 3. Число 12345 заканчивается на 5, поэтому на 5 число не делится. Ответ: 3.