7. Окружность, проходящая через вершины B и C треугольника ABC, пересекает сторону BA в точке P, а сторону CA в точке Q. Известно, что угол APO = 40°, угол ABC = 75°. Найдите угол A.

1. Угол BPC является смежным с углом APO, поэтому: $$\angle BPC = 180° - \angle APO = 180° - 40° = 140°$$ 2. Четырехугольник BCPQ вписан в окружность, следовательно, сумма его противоположных углов равна 180°: $$\angle BPC + \angle BQC = 180°$$ $$\angle BQC = 180° - \angle BPC = 180° - 140° = 40°$$ 3. Рассмотрим треугольник ABC. Сумма углов треугольника равна 180°: $$\angle A + \angle ABC + \angle ACB = 180°$$ Известно, что $\angle ABC = 75°$. Чтобы найти угол ACB, рассмотрим треугольник BQC: $$\angle CBQ = 180° - \angle BQC - \angle BCQ$$ $$\angle BCQ = \angle ACB$$ Заметим, что угол CBQ - это часть угла ABC, значит: $$\angle ACB = 180° - 40° - 75° = 65°$$ 4. Подставим известные значения в уравнение для суммы углов треугольника ABC: $$\angle A + 75° + 65° = 180°$$ $$\angle A = 180° - 75° - 65° = 40°$$ Ответ: Угол A равен 65 градусам.