Вариант №3, Задача 2: Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 120°. Высота, проведённая к боковой стороне равна 8 см. Найдите основание этого треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где угол B равен 120°. Высота, проведённая из вершины B к боковой стороне AC, равна 8 см. Пусть H - основание высоты. Тогда треугольник ABH - прямоугольный. Угол BAH равен (180° - 120°)/2 = 30°. В прямоугольном треугольнике ABH имеем sin(30°) = BH/AB. Следовательно, AB = BH/sin(30°) = 8 / (1/2) = 16 см. Высота делит равнобедренный треугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника, значит основание равно 2 * AH, где cos(30°) = AH/AB. AH = AB * cos(30°) = 16 * √3/2 = 8√3. Тогда основание AC = 2 * AH = 2 * 8√3 = 16√3 см. Ответ: Основание треугольника равно $16\sqrt{3}$ см.