Вариант III, задача 2: В треугольнике CDE проведены биссектрисы CK и DP, пересекающиеся в точке F, причем ∠DFK = 78°. Найдите ∠CED.

∠DFK = ∠PKC как вертикальные углы. Значит, ∠PFK = 78°. Рассмотрим треугольник DFC. В нём ∠DFK=78°, значит ∠CDF + ∠DCF=180°-78°=102°. Так как DP и CK – биссектрисы, то ∠CDE + ∠DCE = 2(∠CDF + ∠DCF)=2*102° = 204°. Но сумма углов CDE + DCE не может быть больше 180. Значит задача имеет опечатку. В данной задаче ∠DFK является внешним углом треугольника CDF. Значит ∠DFK = ∠FCD + ∠FDC = 78°. Так как CK и DP – биссектрисы, то ∠C = 2∠FCD, а ∠D = 2∠FDC. Тогда ∠C + ∠D = 2(∠FCD + ∠FDC) = 2 * 78 = 156°. В треугольнике CDE, ∠E = 180 - (∠C + ∠D) = 180 - 156 = 24°. Ответ: 24°.