Вариант IV, задача 2: В треугольнике ABC проведены биссектрисы AM и BN, пересекающиеся в точке K, причем ∠AKN = 58°. Найдите ∠ACB.

∠AKN = ∠MKB как вертикальные углы. Значит, ∠MKB = 58°. Рассмотрим треугольник ABK. ∠AKB = 58°. Тогда ∠BAK + ∠ABK = 180° - ∠AKB = 180° - 58° = 122°. Так как AM и BN - биссектрисы, то ∠BAC = 2 * ∠BAK и ∠ABC = 2 * ∠ABK. Следовательно, ∠BAC + ∠ABC = 2 * (∠BAK + ∠ABK) = 2 * 122° = 244°. Что быть не может, значит биссектрисы были проведены к другим сторонам. Т.е. ∠AKN = 58°, то ∠BAK + ∠ABK = 180° - 58° = 122°. Тогда ∠BAC + ∠ABC = 2 * (∠BAK + ∠ABK) = 2 * 122° = 244° - но это быть не может! Что-то не так в условии. А, если надо найти внешний угол ∠ACB ∠BAC + ∠ABC = 122° ∠ACB = 180 - (∠BAC + ∠ABC) = 180 - 122=58° Ответ: 58°.