Задача 11: Дан треугольник PRS, где угол PRS = 90 градусов, угол PRQ = 120 градусов, PR = RQ, PS = 7. Найти длину PQ.

Задача 11: Поскольку PR = RQ, треугольник PRQ - равнобедренный. Угол PRQ = 120°. Следовательно, углы RPQ и RQP равны. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Таким образом, угол RPQ = угол RQP = (180° - 120°) / 2 = 60° / 2 = 30°. Теперь рассмотрим треугольник PRS. Это прямоугольный треугольник, где угол PRS = 90°. Угол RPS = угол RPQ = 30°. PS = 7. Используем тригонометрическую функцию тангенс для нахождения PR. tg(RPS) = PS / PR tg(30°) = 7 / PR PR = 7 / tg(30°) Так как tg(30°) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\), то PR = 7 * \(\sqrt{3}\). Теперь, поскольку PR = RQ, то RQ = 7 * \(\sqrt{3}\). Наконец, воспользуемся теоремой косинусов для треугольника PRQ, чтобы найти PQ. PQ^2 = PR^2 + RQ^2 - 2 * PR * RQ * cos(PRQ) PQ^2 = (7 * \(\sqrt{3}\))^2 + (7 * \(\sqrt{3}\))^2 - 2 * (7 * \(\sqrt{3}\) * 7 * \(\sqrt{3}\)) * cos(120°) PQ^2 = (49 * 3) + (49 * 3) - 2 * (49 * 3) * (-0.5) PQ^2 = 147 + 147 + 147 PQ^2 = 441 PQ = \(\sqrt{441}\) = 21 **Ответ: PQ = 21**