Задача 5*: Из точки A, не лежащей на окружности, проведена касательная AB и секущая AK, которая пересекает окружность в точках K и P начиная от точки A. Найти длину отрезка AP и AK, если AK : KP = 1 : 3, AB = 14.

Решение: Пусть $AK = x$, тогда $KP = 3x$. Следовательно, $AP = AK + KP = x + 3x = 4x$. По теореме о касательной и секущей: $AB^2 = AK \cdot AP$ Подставим известные значения: $14^2 = x \cdot 4x$ $196 = 4x^2$ Разделим обе части уравнения на 4: $x^2 = \frac{196}{4} = 49$ Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения: $x = \sqrt{49} = 7$ Теперь найдем AK и AP: $AK = x = 7$ $AP = 4x = 4 \cdot 7 = 28$ Ответ: AK = 7, AP = 28.