Задание 83: Найдите площадь треугольника ABC, если AB = 13 см, BC = 15 см и высота CH = 12 см.

Решение задания 83: Так как BH - высота треугольника ABC, то треугольники ABH и CBH - прямоугольные. В треугольнике ABH по теореме Пифагора: (AB^2 = AH^2 + BH^2), значит, (AH^2 = AB^2 - BH^2). (AH^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25), и (AH = sqrt{25} = 5) см. Аналогично в треугольнике CBH: (BC^2 = CH^2 + BH^2), значит, (BH^2 = BC^2 - CH^2). (BH^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81), и (BH = sqrt{81} = 9) см. Значит, (AC = AH + HC = 5 + 9 = 14) см. (S_{ABC} = 0.5 cdot AC cdot CH = 0.5 cdot 14 cdot 12 = 7 cdot 12 = 84) см². Ответ: Площадь треугольника ABC равна 84 см².