Задание 84: Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 см и 10 см. Диагонали взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке O, AO = 6 см, OC = 3 см. Найдите площадь трапеции.

Решение задания 84: Так как (AC perp BD), (S_{ABCD} = 0.5 cdot AC cdot BD). По условию (AC = AO + OC = 6 + 3 = 9) см. В прямоугольном треугольнике AOD по теореме Пифагора: (AD^2 = AO^2 + OD^2), значит, (OD^2 = AD^2 - AO^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64) и (OD = sqrt{64} = 8) см. Аналогично из треугольника BOC получаем (BO^2 = BC^2 - OC^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16) и (BO = sqrt{16} = 4) см. Следовательно, (BD = BO + OD = 4 + 8 = 12) см. (S_{ABCD} = 0.5 cdot AC cdot BD = 0.5 cdot 9 cdot 12 = 0.5 cdot 108 = 54) см². Ответ: Площадь трапеции равна 54 см².