Задание 5*. Прямая \(OM\), параллельная боковой стороне \(AC\) треугольника \(ABC\), пересекает стороны \(AB\) и \(BC\) в точках \(O\) и \(M\). Докажите, что \(\triangle BOM\) - равнобедренный.

1) Так как \(OM \parallel AC\), то \(\angle BOM = \angle BAC\) (как соответственные углы при параллельных прямых \(OM\) и \(AC\) и секущей \(AB\)). 2) Также, \(\angle BMO = \angle BCA\) (как соответственные углы при параллельных прямых \(OM\) и \(AC\) и секущей \(BC\)). 3) По условию задачи требуется доказать, что \(\triangle BOM\) равнобедренный, но это возможно только в том случае, если \(\triangle ABC\) равнобедренный с основанием \(AB\), т.е. \(\angle BAC = \angle BCA\). 4) Если \(\angle BAC = \angle BCA\), то \(\angle BOM = \angle BMO\) (из пунктов 1 и 2). 5) Если в треугольнике углы при основании равны, то треугольник равнобедренный. Следовательно, \(\triangle BOM\) - равнобедренный (с основанием \(OM\)). **Вывод: \(\triangle BOM\) является равнобедренным, если \(\triangle ABC\) - равнобедренный с \(AB\) в качестве основания.**