Задание 19: В треугольнике \(ABC\) внешние углы при вершинах \(A\) и \(C\) равны \(150^\circ\), \(AB = 44\). Найдите биссектрису \(BK\).

Так как внешние углы при вершинах \(A\) и \(C\) равны \(150^\circ\), то внутренние углы при этих вершинах равны: \[\angle BAC = \angle BCA = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\] Следовательно, треугольник \(ABC\) равнобедренный, с основанием \(AC\) и \(AB = BC = 44\). Найдем угол \(ABC\): \[\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\] Так как \(BK\) - биссектриса угла \(ABC\), то: \[\angle ABK = \angle CBK = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ\] Рассмотрим треугольник \(ABK\). В нем \(\angle BAK = 30^\circ\), \(\angle ABK = 60^\circ\). Следовательно, \(\angle AKB = 180^\circ - (30^\circ + 60^\circ) = 90^\circ\). То есть треугольник \(ABK\) - прямоугольный, с гипотенузой \(AB\). Тогда: \[BK = AB \cdot \sin(\angle BAK) = AB \cdot \sin(30^\circ) = 44 \cdot \frac{1}{2} = 22\] **Ответ: 22**