Задание 1 (Вариант 1): Даны точки A(-3; 1), B(1; -2) и C(-1; 0). Найдите: 1) координаты векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\); 2) модули векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\); 3) координаты вектора \(\overrightarrow{MK} = 2\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AC}\); 4) скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\); 5) косинус угла между векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\).

Решение: 1) Координаты векторов: \(\overrightarrow{AB} = B - A = (1 - (-3), -2 - 1) = (4, -3)\) \(\overrightarrow{AC} = C - A = (-1 - (-3), 0 - 1) = (2, -1)\) 2) Модули векторов: \(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\) \(|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}\) 3) Координаты вектора \(\overrightarrow{MK}\): \(\overrightarrow{MK} = 2\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AC} = 2(4, -3) - 3(2, -1) = (8, -6) - (6, -3) = (8 - 6, -6 - (-3)) = (2, -3)\) 4) Скалярное произведение векторов: \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (4)(2) + (-3)(-1) = 8 + 3 = 11\) 5) Косинус угла между векторами: \(\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|} = \frac{11}{5\sqrt{5}} = \frac{11\sqrt{5}}{25}\)