Задание 1 (Вариант 2): Даны точки A(2; -1), C(3; 2) и D(-3; 1). Найдите: 1) координаты векторов \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{AD}\); 2) модули векторов \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{AD}\); 3) координаты вектора \(\overrightarrow{EF} = 3\overrightarrow{AC} - 2\overrightarrow{AD}\); 4) скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{AD}\); 5) косинус угла между векторами \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{AD}\).

Решение: 1) Координаты векторов: \(\overrightarrow{AC} = C - A = (3 - 2, 2 - (-1)) = (1, 3)\) \(\overrightarrow{AD} = D - A = (-3 - 2, 1 - (-1)) = (-5, 2)\) 2) Модули векторов: \(|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}\) \(|\overrightarrow{AD}| = \sqrt{(-5)^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}\) 3) Координаты вектора \(\overrightarrow{EF}\): \(\overrightarrow{EF} = 3\overrightarrow{AC} - 2\overrightarrow{AD} = 3(1, 3) - 2(-5, 2) = (3, 9) - (-10, 4) = (3 - (-10), 9 - 4) = (13, 5)\) 4) Скалярное произведение векторов: \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} = (1)(-5) + (3)(2) = -5 + 6 = 1\) 5) Косинус угла между векторами: \(\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AC}| \cdot |\overrightarrow{AD}|} = \frac{1}{\sqrt{10}\sqrt{29}} = \frac{1}{\sqrt{290}} = \frac{\sqrt{290}}{290}\)