Задание 16 (вариант 2): Углы треугольника ABC относятся так: \( \angle A : \angle B : \angle C = 1:2:3 \). Биссектриса BM угла ABC равна 12. Найдите длину отрезка MC.

Пусть \( \angle A = x \), тогда \( \angle B = 2x \), а \( \angle C = 3x \). Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно: \( x + 2x + 3x = 180° \) \( 6x = 180° \) \( x = 30° \) Значит, \( \angle A = 30° \), \( \angle B = 2 \cdot 30° = 60° \), \( \angle C = 3 \cdot 30° = 90° \). Так как BM - биссектриса угла B, то \( \angle ABM = \angle CBM = \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} \cdot 60° = 30° \). Рассмотрим треугольник ABM: \( \angle ABM = \angle A = 30° \), следовательно, треугольник ABM - равнобедренный, и AM = BM = 12. Рассмотрим треугольник BMC: \( \angle C = 90° \), \( \angle CBM = 30° \), следовательно, \( \angle BMC = 180° - 90° - 30° = 60° \). Используем тангенс угла CBM для нахождения MC: \( tg(\angle CBM) = \frac{MC}{BC} \) \( tg(30°) = \frac{MC}{BC} \) Также рассмотрим треугольник ABC: \( tg(\angle A) = \frac{BC}{AC} \) \( tg(30°) = \frac{BC}{AM+MC} \) \( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{BC}{12+MC} \) Необходимо найти MC. Но для этого нужно дополнительное условие или способ решения, чтобы найти BC или установить связь между BC и MC. Без этой информации невозможно точно определить длину отрезка MC. Возможно, в условии есть опечатка, или требуется использовать другой подход, например, теорему синусов или косинусов, если известна дополнительная информация о треугольнике. К сожалению, из предоставленной информации невозможно однозначно найти длину отрезка MC.