24. Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 2 и 32, BD = 8. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями BC = 2 и AD = 32. Диагональ BD = 8. Треугольники CBD и BDA имеют общий угол $\angle CBD$ и $\angle BDA$ - внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей BD, значит $\angle CBD = \angle BDA$. Так как BC||AD, то $\angle CBD = \angle BDA$. Также $\angle BCD$ и $\angle ADB$ являются накрест лежащими углами при параллельных прямых BC и AD и секущей CD, следовательно, $\angle BCD = \angle ADB$. Теперь рассмотрим отношения сторон: $\frac{BC}{BD} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ и $\frac{BD}{AD} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$. Таким образом, $\frac{BC}{BD} = \frac{BD}{AD}$. Поскольку углы, заключенные между пропорциональными сторонами, равны, то треугольники CBD и BDA подобны по двум сторонам и углу между ними. Доказано.