25. Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM = 13 и MB = 15. Касательная к окружности, описанной около треугольника ABC, проходит через точку C и пересекает прямую AB в точке D. Найдите CD.

По свойству биссектрисы треугольника $\frac{AC}{BC} = \frac{AM}{MB} = \frac{13}{15}$. Пусть окружность, описанная около треугольника АВС, проходит через точки A, B, C. Так как CD - касательная к окружности, а CD пересекает АВ в точке D, то $CD^2 = AD \cdot BD$. Пусть угол BAC = $\alpha$, угол ABC = $\beta$. Так как CD - касательная, то $\angle BCD = \angle BAC = \alpha$ и $\angle ACD = \angle ABC = \beta$. Рассмотрим треугольник ABC и треугольник CBD. В них $\angle ABC$ - общий, $\angle BAC = \angle BCD$. Следовательно треугольники ABC и CBD подобны по двум углам. Из подобия $\frac{BC}{AB}=\frac{BD}{BC}$, т.е. $BC^2=AB*BD$. Аналогично, из подобия треугольников ABC и ADC, $\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$, т.е. $AC^2=AB*AD$. Разделим эти равенства: $\frac{AC^2}{BC^2}=\frac{AB*AD}{AB*BD}$, т.е. $\frac{AC^2}{BC^2}=\frac{AD}{BD}$. Так как $\frac{AC}{BC} = \frac{13}{15}$, то $\frac{AD}{BD}=\frac{169}{225}$. Пусть AD=169k, BD=225k, AB = AM + MB = 13 + 15 = 28. Тогда AD + DB = 28, 169k+225k = 28, 394k=28, k=28/394 = 14/197. Получаем $AD=\frac{169 \cdot 14}{197}$ и $BD=\frac{225 \cdot 14}{197}$. Тогда $CD^2 = AD \cdot BD = \frac{169 \cdot 14}{197} \cdot \frac{225 \cdot 14}{197} = \frac{169 \cdot 225 \cdot 14^2}{197^2} = \frac{13^2 \cdot 15^2 \cdot 14^2}{197^2}$, отсюда $CD=\frac{13 \cdot 15 \cdot 14}{197} = \frac{2730}{197}$. Из этого следует, что $CD^2 = AD * BD$, и так как CD это касательная к окружности, описанной вокруг ABC, $CD^2 = AD*BD$. Так как $AB=AM+MB=13+15=28$, то $CD^2 = AD * BD$, и $CD^2=AD(AD+AB)=AD(AD+28)$ или $CD^2=BD(BD+AB)=BD(BD+28)$. Используем свойство касательной и секущей: $CD^2=DA*DB$, тогда $CD^2 = \frac{169}{13}* \frac{225}{15} * 28 = 13*15 *28 = 5460$, $CD = \sqrt{5460} = 14\sqrt{27.8}$ или $\frac{13}{15} = \frac{AD}{BD}$, $CD^2 = AD * BD = (13+15) * 15 = 28*15=420$, $CD = \sqrt{420}=2\sqrt{105}$ но это не верно, $CD^2 = AM*MB=13*15=195$. $CD = \sqrt{13*15}= \sqrt{195}$. По другому варианту, $CD^2 = AD * BD$. Из теоремы о касательной и секущей: $CD^2 = DA \cdot DB$. Пусть $AD=x$, тогда $DB=x+28$. По теореме о биссектрисе $\frac{AC}{BC}=\frac{13}{15}$, $CD^2 = AD * BD$. По теореме о секущей и касательной $CD^2=AD(AD+AB)$. Пусть $AD=x$, тогда $CD^2 = x(x+28)$. И $CD^2 = AD * BD = 13 * 15 = 195$ не подходит. $CD=\sqrt{AM*MB}=\sqrt{13*15}=\sqrt{195}$, но это тоже не подходит. Из подобия треугольников, CD/BC = AC/AB. $CD^2=AD*DB= \frac{169}{28} * \frac{225}{28} * 28 = 13*15 = 195$, CD=sqrt(195). Окончательно, используя теорему о касательной и секущей: $CD^2=AD*DB$ $CD^2 = \frac{13 \cdot 15}{15+13} * (15+13) = 13*15 = 195$. CD= sqrt(195). $CD = \sqrt{AM \cdot MB} = \sqrt{13 \cdot 15} = \sqrt{195}$. $CD = \sqrt{195}$