20. Сократите дробь \(\frac{100^n}{5^{2n-1} \cdot 4^{n-2}}\)

Для сокращения дроби \(\frac{100^n}{5^{2n-1} \cdot 4^{n-2}}\) необходимо привести числитель и знаменатель к общим основаниям. 1. Представим 100 как \(10^2\), а затем как \((2 \cdot 5)^2\) или \(2^2 \cdot 5^2\). Таким образом, \(100^n = (2^2 \cdot 5^2)^n = 2^{2n} \cdot 5^{2n}\). 2. Разложим знаменатель: \(5^{2n-1} \cdot 4^{n-2} = 5^{2n-1} \cdot (2^2)^{n-2} = 5^{2n-1} \cdot 2^{2(n-2)} = 5^{2n-1} \cdot 2^{2n-4}\). 3. Теперь дробь выглядит так: \(\frac{2^{2n} \cdot 5^{2n}}{5^{2n-1} \cdot 2^{2n-4}}\). 4. Сократим дробь, используя свойства степеней: \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\). Для 2: \(\frac{2^{2n}}{2^{2n-4}} = 2^{2n - (2n-4)} = 2^{2n - 2n + 4} = 2^4 = 16\). Для 5: \(\frac{5^{2n}}{5^{2n-1}} = 5^{2n - (2n-1)} = 5^{2n - 2n + 1} = 5^1 = 5\). 5. Перемножим оставшиеся значения: \(16 \cdot 5 = 80\). Ответ: 80