Задача 5: В трапеции XYVU с основаниями XU и YV диагонали пересекаются в точке O. YV: XU=5:7, XV = 24 см. Найдите отрезки ХО и OV.

Решение: 1. Рассмотрим трапецию XYVU с основаниями XU и YV. Диагонали XV и YU пересекаются в точке O. Рассмотрим треугольники XOU и VOY. 2. Угол XOU = углу VOY как вертикальные углы. Угол YVO = углу UXO как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых YV и XU и секущей XV. Следовательно, треугольники XOU и VOY подобны по двум углам. 3. Из подобия треугольников XOU и VOY следует пропорциональность сторон: XO/OV = XU/YV. Дано YV:XU = 5:7, значит, XU/YV = 7/5. Следовательно, XO/OV = 7/5. Значит, XO = (7/5) * OV. 4. XO + OV = XV = 24. Подставим XO = (7/5) * OV: (7/5) * OV + OV = 24 => (12/5) * OV = 24 => OV = 24 * (5/12) = 10 см. 5. XO = 24 - OV = 24 - 10 = 14 см. Ответ: XO = 14 см, OV = 10 см.