485. В коробке 9 простых карандашей, из них 4 мягких, остальные твердые. Из коробки не глядя забирают 6 карандашей. Найдите вероятность того, что среди взятых карандашей окажется: a) ровно 2 мягких; б) ровно 3 мягких; в) все 4 мягких; г) более одного мягкого карандаша.

Решение: Всего карандашей: 9 Мягких: 4 Твердых: 9 - 4 = 5 Выбираем 6 карандашей. a) Ровно 2 мягких: Нужно выбрать 2 мягких из 4 и 4 твердых из 5. Число способов выбрать 2 мягких из 4: C(4,2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6 Число способов выбрать 4 твердых из 5: C(5,4) = \frac{5!}{4!(5-4)!} = 5 Число способов выбрать 6 карандашей так, чтобы 2 были мягкими: 6 * 5 = 30 Всего способов выбрать 6 карандашей из 9: C(9,6) = \frac{9!}{6!(9-6)!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84 Вероятность: P = \frac{30}{84} = \frac{5}{14} б) Ровно 3 мягких: Нужно выбрать 3 мягких из 4 и 3 твердых из 5. Число способов выбрать 3 мягких из 4: C(4,3) = \frac{4!}{3!(4-3)!} = 4 Число способов выбрать 3 твердых из 5: C(5,3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10 Число способов выбрать 6 карандашей так, чтобы 3 были мягкими: 4 * 10 = 40 Вероятность: P = \frac{40}{84} = \frac{10}{21} в) Все 4 мягких: Нужно выбрать 4 мягких из 4 и 2 твердых из 5. Число способов выбрать 4 мягких из 4: C(4,4) = 1 Число способов выбрать 2 твердых из 5: C(5,2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10 Число способов выбрать 6 карандашей так, чтобы все 4 были мягкими: 1 * 10 = 10 Вероятность: P = \frac{10}{84} = \frac{5}{42} г) Более одного мягкого карандаша: Это значит, что может быть 2, 3 или 4 мягких карандаша. P(более 1) = P(2) + P(3) + P(4) = \frac{30}{84} + \frac{40}{84} + \frac{10}{84} = \frac{80}{84} = \frac{20}{21} Ответ: а) \frac{5}{14}, б) \frac{10}{21}, в) \frac{5}{42}, г) \frac{20}{21}