Задание 3: Докажите тождество: (sin 4α + 2 cos 3α - sin 2α) / (cos 4α - 2 sin 3α - cos 2α) = -ctg 3α.

Преобразуем числитель и знаменатель, используя формулы суммы/разности синусов и косинусов: Числитель: \(\sin 4\alpha - \sin 2\alpha + 2 \cos 3\alpha = 2 \cos \frac{4\alpha + 2\alpha}{2} \sin \frac{4\alpha - 2\alpha}{2} + 2 \cos 3\alpha = 2 \cos 3\alpha \sin \alpha + 2 \cos 3\alpha = 2 \cos 3\alpha (\sin \alpha + 1)\). Знаменатель: \(\cos 4\alpha - \cos 2\alpha - 2 \sin 3\alpha = -2 \sin \frac{4\alpha + 2\alpha}{2} \sin \frac{4\alpha - 2\alpha}{2} - 2 \sin 3\alpha = -2 \sin 3\alpha \sin \alpha - 2 \sin 3\alpha = -2 \sin 3\alpha (\sin \alpha + 1)\). Тогда: \(\frac{\sin 4\alpha + 2 \cos 3\alpha - \sin 2\alpha}{\cos 4\alpha - 2 \sin 3\alpha - \cos 2\alpha} = \frac{2 \cos 3\alpha (\sin \alpha + 1)}{-2 \sin 3\alpha (\sin \alpha + 1)} = -\frac{\cos 3\alpha}{\sin 3\alpha} = -\ctg 3\alpha\). Тождество доказано.