3. В рассматриваемом технологическом процессе в среднем 75% изделий имеет допуск ± 5%. Какое число изделий из партии в 200 000 шт. с вероятностью 0,99 можно планировать с допуском ± 5%?

Пусть p = 0.75 - вероятность того, что изделие имеет допуск ±5%. Пусть n = 200000 - количество изделий в партии. Мат ожидание количества изделий с допуском = np = 200000*0.75 = 150000. Дисперсия = np(1-p) = 200000 * 0.75 * 0.25 = 37500. Стандартное отклонение sqrt(37500) = 193.6. Мы ищем такое число изделий, m, что P(X >= m) = 0.99. Сделаем оценку через неравенство Чебышева. Пусть X число изделий, имеющих допуск ± 5%. P(|X - 150000| < k*193.6) >= 0.99. По неравенству Чебышева: P(|X - 150000| >= k*193.6) <= 1/k^2. 1/k^2 = 1-0.99 = 0.01, k^2=100, k=10. k*193.6 = 10 * 193.6 = 1936. 150000 - 1936 = 148064. Таким образом, с вероятностью 0.99 можно планировать, что число изделий с допуском +-5% не меньше чем 148064. Также можно использовать правило 3х сигм для приближенного решения, тогда: 150000 - 2.58*193.6 = 149500 изделий. Правило 3х сигм применяется только для нормального распределения. Ответ: С вероятностью 0.99, можно планировать не менее 148064 изделий.