8. За значение некоторой величины принимают среднеарифметическое достаточно большого числа ее измерений. Предполагая, что среднее квадратическое отклонение возможных результатов каждого измерения не превосходит 5 мм, оценить вероятность того, что при 1000 измерений неизвестной величины отклонение принятого значения от истинного по абсолютной величине не превзойдет 0,5 мм.

Пусть Xᵢ - результаты отдельных измерений. Среднеквадратическое отклонение каждого измерения не превосходит 5 мм, то есть σᵢ ≤ 5 мм. Среднее арифметическое n измерений: X̄ = (X₁ + X₂ + ... + Xₙ)/n, где n = 1000. Среднеквадратическое отклонение среднего арифметического σ_X̄ = σ/sqrt(n) ≤ 5 / sqrt(1000) ≈ 5 / 31.62 ≈ 0.158 мм. Мы хотим оценить вероятность P(|X̄ - μ| ≤ 0.5). Здесь μ - истинное значение. Мы можем использовать неравенство Чебышёва для оценки вероятности, что отклонение среднего арифметического от истинного значения не превзойдет 0.5. Неравенство Чебышёва: P(|X̄ - μ| ≥ kσ_X̄) ≤ 1/k². Чтобы найти k: k*0.158 = 0.5, k= 0.5/0.158=3.16. P(|X̄ - μ| ≥ 0.5) ≤ 1/(3.16)² ≈ 1/10 = 0.1. Вероятность того, что отклонение превысит 0,5 не превышает 0.1. Следовательно, вероятность того, что отклонение не превысит 0.5 будет P(|X̄ - μ| <= 0.5) >= 1-0.1 = 0.9. Ответ: Вероятность не меньше 0.9.