30. В правильной четырёхугольной призме \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) известно, что \(BD_1=2AD\). Найдите угол между диагоналями \(DB_1\) и \(CA_1\). Ответ дайте в градусах.

Пусть сторона основания призмы равна a. Тогда \(AD = a\). \(BD_1 = 2a\). В прямоугольном треугольнике \(BB_1D\), \(BD^2+BB_1^2 = BD_1^2\), или \( (a \sqrt 2)^2 + BB_1^2 = (2a)^2\), или \(2a^2 + BB_1^2 = 4a^2\). Откуда \(BB_1^2 = 2a^2\) или \(BB_1 = a \sqrt 2\). Поскольку \(BB_1=BD\), а диагонали квадрата перпендикулярны и равны по длине , то угол между \(DB_1\) и \(CA_1\) равен 60 градусам (треугольник равносторонний).