31. В правильной четырёхугольной призме \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) известно, что \(BD_1=2AD\). Найдите угол между диагоналями \(DB_1\) и \(AC_1\). Ответ дайте в градусах.

Условие аналогично предыдущему заданию, \(AD = a\), \(BD_1 = 2a\), \(BB_1 = a \sqrt 2\). Здесь \(DB_1\) и \(AC_1\) являются диагоналями прямоугольного параллелепипеда, и если мы построим параллельную \(AC_1\) прямую из точки \(B\), то получим прямую \(BD\) параллельную \(AC_1\) и тогда угол между ними будет такой же как между \(DB_1\) и \(BD\), что является углом прямоугольного треугольника. Пусть \(BB_1 = h\) , \(BD^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\) тогда \(BD= a\sqrt2\). По условию \(BD_1 = 2a\). \(BD_1^2 = BD^2+BB_1^2\), тогда \(4a^2 = 2a^2 + h^2\). Отсюда \(h = a \sqrt2\). И угол \(B_1BD = 45\) градусов, тогда угол между \(DB_1\) и \(AC_1\) будет 90 - 45 = 45 градусов.